Fraktale w sztuce

     Fraktale są wszechobecne. Im dłużej obserwuje się naturę i sztukę, tym więcej widać w nich struktur typowych dla fraktala. Na ten temat wypowiadało się wielu naukowców i jak zwykle pojawiały się zarówno obszerne teorie forsujące obecność fraktali np. w malarstwie Jacksona Pollocka, jak i ognistych polemik, mających ową tezę obalić. Moim zdaniem, jak zwykle, racja leży pośrodku.

     Sądzę tak, ponieważ sztuka nie jest idealna i trudno tego od niej oczekiwać. Fraktal natomiast jest kształtem samopodobnym w nieskończonej skali, co oczywiście sprawia, że nie może zostać manualnie przedstawiony. Nawet kryształy pierwiastków naturalnie układające się w strukturę fraktala są jedynie jego przybliżeniem, ponieważ materia nie jest nieskończenie podzielna. To po prostu czysta abstrakcja, tak jak wspomniane już obrazy Jacksona Pollocka, wokół których rozgorzała w latach dziewięćdziesiątych dyskusja. Wszystko zaczęło się od tego, że Pani Teri Horton kupiła za pięć dolarów obraz, o którego oryginalność spierali się znawcy sztuki. Po wielu badaniach okazało się, że płótno zostało namalowane w za ciemnej gamie, farbami akrylowymi których Pollock nie używał i na standardowym formacie, podczas gdy reszta jego dzieł była ręcznie docinana z płótna żaglowego. Nadal nie uznawano ekspertyz. Matematyk Richard Taylor postanowił jednoznaczne stwierdzić autentyczność dzieła. Za wzór wziął obraz Numer 1 z 1948 roku. Wykorzystał w tym celu metodę Box-counting, która polega na nakładaniu na obraz kolejnych, coraz drobniejszych, kwadratowych siatek. Następnie zlicza się, ile kwadratów zawiera elementy obrazu. Sprawdzane jest więc, w jakim stopniu wzór pokrywa płaszczyznę.

Jackson Pollock, Numer 1, 1948   źródło: nonsite.org

     Ilość zliczonych kwadratów jest więc miarą zajętej przez obraz powierzchni. Wartość ta oczywiście będzie się zmieniać wraz ze zmianą rozmiaru kratki. Kluczowa jest szybkość tych zmian – pozwala ona określić, ile wymiarów ma mierzony obiekt. Oto prosty przykład:

materiały własne

materiały własne

     Na pierwszym rysunku znajduje się jednowymiarowa linia. Zajmuje ona 3 kratki. Co będzie, gdy zmniejszy się kratki dwukrotnie? Linia zajmie ich 6. Ilość zajętych kratek jest proporcjonalna do pierwszej potęgi skali – obraz ma 1 wymiar. Inaczej mówiąc, linia ma długość liczoną w kratkach.

materiały własne

materiały własne

     Wezmę teraz figurę płaską. Zajmuje ona 2 kratki. Po dwukrotnym przeskalowaniu, kratek jest 8, czyli czterokrotnie więcej. Mam więc zmianę proporcjonalną do kwadratu skali. Wymiar wynosi 2. Inaczej mówiąc, figura ma pewną powierzchnię liczoną w kratkach.
Jak widać, można tą metodą określać wymiar obiektu – który, jak już wiadomo, nie musi być liczbą całkowitą.

     Nieodłączną cechą obiektów o niecałkowitej liczbie wymiarów jest samopodobieństwo.
Numer 1 Pollocka okazał się być tysiąckrotnie samopodobny, natomiast obraz kupiony przez Panią Horton jedynie pięćdziesięciokrotnie. Dla porównania, typowa linia konturu lasu na tle nieba wykazuje możliwość 250-krotnego powiększenia z zachowaniem podobieństwa. Z dalszych analiz Taylora wynikło, że dzieła Pollocka mają bardzo podobny wymiar, co elementy występujące w naturze (np. linia horyzontu, żyłki liścia), czyli ok. 1,3. Okazało się też, że z biegiem czasu malarz rozwijał swoją technikę, ponieważ od roku 1943 do 1952 współczynnik stopniowo wzrastał. Jednocześnie, nie bez znaczenia były rozmiary płótna i stopień jego pokrycia.

     Matematyk wskazał także na badania innych naukowców, które udowadniają, że budowę fraktala mają np. wzory w Nazca, czy buddyjska świątynia Borobudur na Jawie. Niestety analiza ta nie została zaakceptowana przez ekspertów i badania trwały dalej. Do dziś nie została podjęta decyzja w sprawie obrazu. Taylor nie zważając na lekceważenie go przez środowisko naukowe do dziś kontynuuje swoje badania. Nie jest z resztą w swoich dążeniach odosobniony. Wielu innych uczonych z całego świata podjęło starania połączenia wiedzy na temat fraktali i sztuki. Nawet sama metoda sprawdzania autentyczności dzieł Pollocka jest nadal rozwijana.

świątynia Borobudur na Jawie   źródło: wikipedia.org

     Szczególnie ważne jest badanie naturalnie występujących wzorów fraktalnych, które jak stara się dowieść Taylor, mają wpływ na przyzwyczajenia percepcyjne człowieka. W dalszej konsekwencji artyści od wieków intuicyjnie korzystający z podobieństw form w przyrodzie tworzyli, jego zdaniem, w oparciu o fraktale, ponieważ stale z nimi obcowali. Ludzie przyzwyczajeni w ten sposób do określonej proporcji wymiarów (ok. 1,3) znajdują w nim odpoczynek dla oka, czyli obniżoną aktywność umysłu związaną z przetwarzaniem obrazów. Taki odpoczynek jest przyjemny i ciekawi odnajdywaniem kolejnych analogii, więc spełnia naturalną, zdaniem Johana Huizingi, potrzebę rozrywki. Jest to logiczne, biorąc pod uwagę teorię Gestalt i bazujące na niej dzieło Rudolfa Arnheima „Sztuka i percepcja wzrokowa. Psychologia twórczego oka”. Jak wykazały powyższe badania psycho-fizjologiczne, podstawową zasadą percepcji jest prostota formy i wynikające z niej stałości postrzeżeniowe. Skoro fraktal jest formą nieskończenie samopodobną, a natura wykazuje jego wszechobecność nie sposób zaprzeczyć zasadności prezentowanych sądów Taylora. Na dowód tego przytoczyć można wyniki eksperymentu NASA z 1986r., w którym wyświetlał losowo dobranym osobom cztery obrazki: zdjęcie natury, obraz pointylistyczny z drzewem, abstrakcyjny wzór i pusty obraz kontrolny. Sprawdzano jaka będzie reakcja organizmu badanych. Okazało się, że aktywność umysły w momencie wyświetlania zdjęcia pejzażu była aż 44% niższa niż, gdy pokazywany był obraz kontrolny. Dlatego też inny naukowiec, Roger Ulrich, starał się dowieść, że okna z widokiem na naturalną scenerię wpływają pozytywnie na efekty rekonwalescencji pacjentów po operacji. Może niektórych to śmieszy, jednak taka wiedza jest bardzo potrzebna. Wiadomo na przykład, że długie patrzenie w pustkę przestrzeni kosmicznej wpływa negatywnie na psychikę. Także w trakcie drugiej wojny torturowano ludzi zamykając ich w pomieszczeniach, gdzie nie otrzymywali żadnych bodźców zmysłowych. W bardzo krótkim czasie zamknięci wariowali.

     Taylor w swoich poszukiwaniach na tym nie zakończył. Stworzył między innymi maszynę malującą obrazy metodą drippingu, którą można skalibrować tak, aby tworzyła wzory o konkretnym wymiarze. Potrafi ona malować zarówno fraktalne jak i niefraktalne kształty. Dalsze badania wykazały preferencję konkretnego zakresu wymiaru, czyli ok. 1,3. 

     Podobne do metody Taylora badania zostały przeszczepione na grunt architektury i urbanistyki. Przy dzisiejszym ich stanie można uznać, że rzeczywiście już starożytni budowniczowie intuicyjnie i całkowicie nieświadomie korzystali ze sposobu skalowania bardzo zbliżonego do fraktala. Doskonale widać to przy porównaniu zewnętrznej linii obrysu świątyni w Angkor Wat i linii zalesionego horyzontu . Także poszczególne elementy budowli, np. kopuły lub wieżyczki są zazwyczaj przez hindusów skalowane i rozmieszczane według jednej, niewymiernej proporcji. W samej Angkor Wat w ten sposób powiększają się kolejne mury. Podobny wzór tworzą usypywane z piasku buddyjskie mandale. Architektura grecka i rzymska, przez długi czas stawiane za wzór w Europie, były natomiast częściej tworzone w oparciu o wartości wymierne. Wyjątkiem od tego są między innymi gotyckie pałace w Wenecji: Palazzo d’Oro, Ca’ Foscari, czy Pałac Dożów. Wzory podobne do fraktala tworzą także precyzyjnie planowane parcele miast wokół koncentrycznie rozchodzących się ulic lub na osiedlach domków. Najlepszym tego przykładem są okolice Pól Elizejskich w Paryżu. Podobnie kształtowana jest posiadłość powstała na zamówienie Pana Palmera, zrealizowana w latach 1950-51 przez Franka Lloyda Wrighta. Całość planu budynku tworzą nakładające i przecinające się trójkąty.

Pola Elizejskie w Paryżu   źródło: wikipedia.org

     Osobnym i dla mnie szczególnie interesującym zjawiskiem jest obecność fraktali w sztuce pierwszych ekspresjonistów i abstrakcjonistów. Jak się okazuje sam Benoît Mandelbrot zachwycał się strukturą obrazów Františka Kupki. Artysta pochodzący z Czech, niedostrzeżony przez współczesną mu krytykę jako jeden z pionierów abstrakcji malarskiej, tworzył ogromne płótna przesycone jego ulubioną muzyką. Fascynował się Bachem i jego zasadą kontrapunktu, którą w swoich obrazach przedstawiał za pomocą kontrastu czerwieni z błękitem. Zaskakujące jest dla mnie to, że właśnie te elementy (często stosunkowo małe) wykazują cechy fraktala. Pokrywa się to bowiem z założeniami samego Bacha, który tworzył w muzyce kontrapunkty, określające metodę prowadzenia niezależnych linii melodycznych w ścisłym powiązaniu ze z góry określonymi zasadami harmonicznymi. Tak jak podobne są owe linie, tak podobne są kontrastowane formy u Kupki. Dziwi mnie trochę, że skoro w tak wielu obrazach abstrakcyjnych pojawiają się u niego wyraźne fraktale, w dziele „Kwitnący kasztanowiec” z 1906 roku ich nie ma. Inaczej jest  u Vincenta van Gogha, który we wszystkich obrazach przedstawiających kasztanowce fraktale zawarł. U Holendra sprawa wygląda zupełnie odmiennie niż u Kupki. Cały czas tworząc w ścisłym związku z naturą, co stale podkreślał w swoich wypowiedziach, stworzył technikę, która rzeczywiście odpowiada budowie przyrody opartej na fraktalach. Badania jego obrazów, wykonane w porozumieniu kilku uczelni wyższych i Kröller-Müller Museum dowiodły, że pociągnięcia pędzla Vincenta są powtarzalne w określony sposób, a cała struktura jego dzieł jest bardzo spójna. Można to stwierdzić „na oko”. Dochodzenie przeprowadzone przez naukowców przyniosło jednak liczby, które mówią same za siebie. Po otrzymaniu skanów, wykonanych wg jednego standardu z oryginalnych obrazów oraz ich kopii doszli do wniosku, że analiza fraktalna może być narzędziem zdolnym do wykrywania fałszerstw, a także dzielenia prac van Gogha na okresy. W każdym z nich bowiem występowały inne zależności wzorów. Okazało się również, że wymiar obrazów malowanych tuż przed lub tuż po atakach epilepsji jest znacznie wyższy niż w dziełach z okresu gdy czuł się dobrze. Pokrywa się więc tutaj stopień skręcenia formy i stopień skomplikowania fraktala. Artysta przekonany o uniwersalności źródła swojej inspiracji doszedł na drodze stylizacji do doskonałych efektów formalnych. Podobnie jak w przypadku obrazów Jacksona Pollocka można za  pomocą analizy fraktalnej zbadać czas powstania dzieła van Gogha. W przeciągu zaledwie dwóch lat malarz ogromnie udoskonalił swoją technikę. To co pozornie zdaje się być tylko deformacją, jest tak naprawdę dochodzeniem do perfekcji. Wnioskuję tak, ponieważ oryginalne obrazy Vincenta malowane były w prawdziwym szale twórczym, kiedy autor nie miał nawet sekundy na zastanowienie. Kopie zawsze malowane są z większą uwagą. Cały czas korygowane jest bowiem podobieństwo do pierwowzoru. Innymi słowy van Gogh wyćwiczył technikę malarską (i rysunkową) w sposób uniemożliwiający proste fałszerstwo. Zarzuty tak często kierowane pod adresem Vincenta, że jego styl wynika z upośledzenia są bardzo krzywdzące. Epilepsja, czy inaczej padaczka stwierdzona u artysty i leczona w oczywisty sposób utrudniała mu pracę, nie zaś jakby tego chcieli autorzy teorii spiskowych, ułatwiała. Jedynymi objawami są powtarzające się cyklicznie napady, podczas których chory traci przytomność (lub jest ona zaburzona) i dochodzi do cyklicznego, niekontrolowanego napinania mięśni. Jest to bardzo wyczerpujące. Gdy tylko van Gogh odzyskiwał siły wracał do pracy. Często malował po dwa obrazy dziennie, wykonywał masę szkiców. 

Vincent van Gogh, Kwitnąca jabłoń, 1890   źródło: wikipaintings.org

Frantisek Kupka, Kwitnąca jabłoń, 1906   źródło: wikipaintings.org

     Idąc dalej tropem muzyki, która fascynowała wielu malarzy początku XX wieku warte uwagi jest prześledzenie struktury dźwięków w utworze, która także bardzo często odpowiada fraktalom. Nie trzeba zapewne nikomu tłumaczyć, że muzyka zawsze jest w jakimś stopniu samopodobna. Taka jest jej natura. Na tym polu eksperymenty i matematyczne zabawy przeprowadził między innymi Wolfgang Amadeusz Mozart. Kompozytor stworzył tablicę Musikalische Wurfelspiel, dzięki której można komponować kolejne elementy utworu wprowadzając jedynie element losowy, np. liczbę oczek na rzuconych kościach. Zmienność dźwięków w czasie poza strukturą fraktala wykazuje także obecność szumu, który wg licznych badań jest naturalny. Różne rodzaje szumu mogą być na przykład wyróżnikiem konkretnych gatunków muzycznych. Na ten problem zwrócił uwagę Luigi Russolo w swoim liście pisanym do kompozytora Francesco Balilla Pratellego liście z 1913r. Tekst został opublikowany jako książka w 1916r. jako "Sztuka szumu". Jest uważany za jedną z bardziej wpływowych teorii muzyki XXw. Russolo związany z ruchem futurystów był zarówno malarzem jak i kompozytorem. Takich postaci wiążących sztuki plastyczne z muzyką szczególnie dużo było na przełomie wieków, kiedy na nowo zaczęto rozpatrywać romantyczne correspondance des arts. Niemały wpływ na myśl artystyczną wywarł współtwórca "Revue Wagnerienne", Polak z pochodzenia, Teodor de Wyzewa. Refleksja na temat twórczości Wagnera miała ogromny zasięg. Upatrywano w nim wielkiego geniusza, który dokonał syntezy sztuk i stworzył prawdziwy Gesaumtkunstwerk.

     Przykładów dzieł architektury budowanych w sposób fraktalny, podobnie jak obrazów i utworów muzycznych można by mnożyć w nieskończoność. Sądzę, że niezależnie od tego czy artysta był tego świadomy czy nie, należy taką właściwość uwzględnić. Zawsze pojawiają się sprzeciwy wobec nowatorskich metod badań, co jest zrozumiałe. Uważam jednak, że każda metoda analizy sztuki jest słuszna o ile nadal dotyczy bezpośrednio samego dzieła. Tylko z takim podejściem można stale poszerzać wiedzę. Stąd mój wniosek, że sztuka i nauki ścisłe powinny iść w parze.

Kajetan Giziński